书评:《越玩越聪明的印度数学》

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图书信息

  • 书名:越玩越聪明的印度数学
  • 作者:王擎天
  • 出版社: 中国纺织出版社
  • 链接:豆瓣

简介

《越玩越聪明的印度数学》共分三章,一共介绍了一十五式印度数学简算法。第一至第六式被归入第一章,这六种简算法应用不同思路,能够非常有效地简化五种类型的运算(其中有一种运算能用两种方法简算)。第二章包含第七至第十二式简算法,它们分别在加、减、乘、除运算中展现着“补数思想”的精髓。第三章是轻松愉快的一章,与其说它介绍了三种简算法,不如说它带领大家做了三个思维游戏或者三套瑜伽放松操。在这一章,读者将真切地体会到印度数学好玩、有趣的一面。

评论

这本书的主题是关于来自古印度的“吠陀数学”中的15种数学简算法。这些简算法用于简化整数的加、减、乘、除运算,具有一定的实用价值。贯穿其中的一个重要想法就是在运算中避开人脑会觉得比较困难的进位、借位等步骤,而尽可能多涉及整十、整百等整数的运算。这些简算法确实非常适合儿童学习四则运算的时候练习。

一些简算法背后的数学原理。

第2式

第2式的内容是关于个位数是5的两位数与自己相乘。
– 步骤1:把十位数和它加1相乘。
– 步骤2:在步骤1的乘积后面写上25即可。

例子:75×75。步骤1,7乘以8是56。步骤2,答案是5625。

这个原理就很简单了。假设十位数是x,那么计算的是(10x+5)×(10x+5)=100x^2+100x+25=100x(x+1)+25。步骤1得到x(x+1),然后在其后面写25,就是乘以100再加25。

第6式

第6式的内容是关于100到110之间的两个整数相乘。
– 步骤1:被乘数加上乘数个位的数字。
– 步骤2:两个数个位上的数字相乘。
– 步骤3:步骤2的乘积直接写在步骤1的和后面即可。

例子:104×107。步骤1,104+7=111。步骤2,4×7=28。步骤3,答案是11128。

这个原理也不复杂。假设个位数分别是x和y,那么计算的是(100+x)×(100+y)=10000+100(x+y)+xy=100(100+x+y)+xy。步骤1得到(100+x)+y,步骤2得到xy,和上面第2式类似,步骤3就是100+x+y乘以100再加xy。注意一个细节,由于x和y都不超过10,xy不超过100,因此最终答案不会有进位的问题。

第9式

第9式是关于被乘数和乘数中间存在整十、整百、整千等整数的乘法。一言以蔽之,就是(a×10^k+b)×(a×10^k-b),然后利用平方差公式等于a×10^k的平方减去b的平方。例子不再赘述。

第12式

第12式是整本书里最复杂的一种简算法。它适用于除数是两位且非10的倍数的(带余)除法。它用到一种特殊的竖式。

  • 步骤1:将除数分解为整十数和补数(例如28=30-2)。
  • 步骤2:计算被除数除以整十数。
  • 步骤3:步骤2的商乘以补数,再加上步骤2的余数作为新的被除数,不断重复步骤2和步骤3,直到得到足够小的被除数。
  • 步骤4:新被除数直接除以除数。
  • 步骤5:步骤4的商加上步骤2中得到的所有商就是最终的商,步骤4的余数是最终的余数。

例子:6982除以33。

33=40-7,整十数是40,补数是7。步骤2,6982先除以40,百位商1,余2982。这里82可以照抄,余数视为29。然后步骤3,1×7+29=36,新的被除数是3682。再步骤2,3682除以40,十位商9,余8(2)。然后步骤3,9×7+8=71,新的被除数是712。再步骤2,712除以40,十位商1,余31(2)。然后步骤3,1×7+31=38,新的被除数是382。再步骤2,382除以40,个位商9,余22。然后步骤3,9×7+22=85,新的被除数是85,已经足够小了。步骤4,85除以33,商2余19。最后步骤5,前面的商包括100+90+10+9=209。最后答案是商211余19。

原理:只需要考察每次对步骤2和步骤3的应用。假设除数是10x-y。被除数除以10x的时候实际参与的部分是a×10^k,照抄的部分是b,商是q,余数是r。那么步骤3中新的被除数是(q×y+r)×10^k+b。现在回顾这一轮对于步骤2和步骤3的应用,被除数从a×10^k+b变成了(qy+r)×10^k+b,商记录了q×10^k。那么只需验证等式(a×10^k+b)-((qy+r)×10^k+b) = (10x-y)×q×10^k。由步骤2中的带余除法,我们有a=10xq+r。所以(a×10^k+b)-((qy+r)×10^k+b)=10^k×(a-qy-r)=10^k×(10qx+r-qy-r)=10^k×q×(10x-y),证毕。

第12式的动机显然是避免在除法中出现借位,所以采取把除数变成整十的办法,笔者简单测试了一下,对于口算来说是有一定效果的。

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